حل تمرین صفحه 41 ریاضی هشتم

برای حل این سوال از ویژگی‌های لوزی و مربع استفاده می‌کنیم. **الف) چرا $ \overline{AD} = \overline{CE} $؟** ۱. در لوزی $ABCD$ همه اضلاع با هم برابرند، پس $ \overline{AD} = \overline{DC} $. ۲. در مربع $DCEF$ نیز همه اضلاع با هم برابرند، پس $ \overline{DC} = \overline{CE} $. ۳. از دو تساوی بالا نتیجه می‌گیریم که $ \overline{AD} = \overline{CE} $ (خاصیت تعدی). **ب) چرا $ AB || EF $؟** ۱. در لوزی $ABCD$ اضلاع روبه‌رو موازی هستند، پس $ AB || DC $. ۲. در مربع $DCEF$ نیز اضلاع روبه‌رو موازی هستند، پس $ DC || EF $. ۳. از آنجایی که هر دو خط $AB$ و $EF$ با خط $DC$ موازی هستند، پس خودشان نیز با هم موازی‌اند: $ AB || EF $. **ج) زاویۀ ADF چند درجه است؟** ۱. زاویه $ \hat{ADF} $ از مجموع دو زاویه $ \hat{ADC} $ و $ \hat{CDF} $ تشکیل شده است. ۲. $ \hat{CDF} $ یکی از زوایای مربع است، پس $ \hat{CDF} = ۹۰^\circ $. ۳. برای یافتن $ \hat{ADC} $، از ویژگی زوایای لوزی استفاده می‌کنیم. در لوزی زوایای روبه‌رو برابرند، پس $ \hat{ADC} = \hat{ABC} $. طبق شکل $ \hat{ABC} = ۴۰^\circ $، بنابراین $ \hat{ADC} = ۴۰^\circ $. ۴. در نهایت، دو زاویه را با هم جمع می‌کنیم: $ \hat{ADF} = \hat{ADC} + \hat{CDF} = ۴۰^\circ + ۹۰^\circ = ۱۳۰^\circ $.

خطوط تقارن در لوزی همان **قطرهای** آن هستند. با تا کردن کاغذ از روی این دو خط، به دو نتیجه مهم در مورد قطرهای لوزی می‌رسیم: ۱. **قطرها بر هم عمودند:** وقتی لوزی را روی یکی از قطرها تا می‌کنیم، قطر دیگر دقیقاً بر روی خودش تا می‌شود. این نشان می‌دهد که دو قطر بر هم زاویه $۹۰$ درجه می‌سازند و بر یکدیگر **عمود** هستند. ۲. **قطرها نیمساز زوایا هستند:** وقتی لوزی را روی هر یک از قطرها تا می‌کنیم، دو زاویه‌ای که در دو سر آن قطر قرار دارند، دقیقاً از وسط به دو نیم تقسیم می‌شوند. این یعنی هر قطر، **نیمساز** زوایای دو سر خود است.

چهارضلعی به دست آمده یک **لوزی** است. **دلیل:** فرض کنید مستطیلی با طول $l$ و عرض $w$ داریم. وقتی وسط اضلاع آن را به هم وصل می‌کنیم، چهار مثلث قائم‌الزاویه در گوشه‌های مستطیل تشکیل می‌شود. هر کدام از این مثلث‌ها دارای ساق‌هایی به طول $ \frac{l}{۲} $ و $ \frac{w}{۲} $ هستند. ضلع‌های چهارضلعی داخلی، وترهای این چهار مثلث قائم‌الزاویه هستند. طبق قضیه فیثاغورس، طول وتر هر یک از این مثلث‌ها برابر است با: $ c = \sqrt{(\frac{l}{۲})^۲ + (\frac{w}{۲})^۲} $ از آنجایی که هر چهار مثلث گوشه با هم برابرند، طول وترهای آنها نیز با هم برابر است. بنابراین، چهارضلعی داخلی دارای چهار ضلع مساوی است که بنا به تعریف، یک **لوزی** می‌باشد.

بررسی درستی یا نادرستی هر جمله: **الف) قطرهای هر مستطیل با هم مساوی‌اند.** - **درست** ✅. یکی از ویژگی‌های اصلی مستطیل این است که دو قطر آن هم‌اندازه هستند. **ب) قطرهای هر لوزی با هم مساوی‌اند.** - **نادرست** ❌. قطرهای لوزی در حالت کلی با هم برابر نیستند (یکی بلندتر و دیگری کوتاه‌تر است)، مگر اینکه آن لوزی یک مربع باشد. **ج) قطرهای هر مستطیل بر هم عمودند.** - **نادرست** ❌. قطرهای مستطیل در حالت کلی بر هم عمود نیستند، مگر اینکه آن مستطیل یک مربع باشد. **د) قطرهای هر لوزی بر هم عمودند.** - **درست** ✅. یکی از ویژگی‌های اصلی لوزی این است که دو قطر آن همواره بر یکدیگر عمود هستند.